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TagsMotion (Physics) Equations Friction
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                            Cap. 3 Equilibrio
3.1.1 Equilibrio de la partícula en el plano
	3.2.1.5 Cuerpos sometidos a la acción de dos o tres fuerzas
		Reacciones en los apoyos tridimensionales
Casos particulares
Tenemos todavía cinco incógnitas:
                        
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Cap. 3 Equilibrio Pág. 3-1

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño

Cap. 3 Equilibrio


3.1 Equilibrio de la partícula

Sabemos de la primera de ley de Newton que “si la fuerza resultante de todas las fuerzas
que actúan sobre una partícula es nula, la partícula permanecerá en reposo si originalmente
estaba en reposo, o continuará su movimiento con velocidad constante a lo largo de una
trayectoria rectilínea si originalmente se estaba moviendo”.

Podemos concluir entonces que si la fuerza resultante de un sistema de fuerzas que actúa
sobre una partícula es nula, la partícula está en equilibrio. Algebraicamente este hecho se
expresa como:



i

iFR 0
�&�&

(3.1)


Entonces, la condición necesaria y suficiente para el equilibrio de una partícula se basa en
un equilibrio de fuerzas.

Para el análisis de problemas de equilibrio de una partícula es imprescindible empezar
realizando un esquema que contenga toda la información acerca de las variables físicas del
problema. Tal diagrama, que contiene a la partícula aislada del resto del sistema al que
pertenece y a todas las fuerzas que actúan sobre ella, se denomina diagrama de cuerpo
libre.

Este diagrama debe ser lo más claro posible pues a partir de él se escribirán las ecuaciones
escalares que devienen de la ecuación vectorial (3.1). Un diagrama poco claro, incompleto o
impreciso podría eventualmente acarrear errores en el planteamiento de las ecuaciones
mencionadas y entonces la solución será errónea.


3.1.1 Equilibrio de la partícula en el plano

Si se da el caso de que todas las fuerzas que actúan sobre una partícula están contenidas en
un mismo plano, es decir, si constituyen un sistema coplanar de fuerzas, la ecuación (3.1) se
podrá escribir según dos direcciones cualesquiera del plano.

Por ejemplo, si se elige trabajar con un sistema cartesiano, tendremos:


0xF (3.2)

0yF (3.3)


Sin embargo, en general se puede usar dos cualesquiera direcciones u y v que no deben ser
necesariamente perpendiculares entre sí:


0uF (3.4)

0vF (3.5)

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Cap. 3 Equilibrio Pág. 3-2

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño

Ejemplo 3.1:

Una cuerda de 2 m de longitud se fija a un soporte A y
pasa sobre dos poleas pequeñas B y C. Para un peso de 40
N del bloque D el sistema se encuentra en equilibrio en la
posición mostrada. Calcular la masa del bloque E.


Solución:

En los problemas de este tipo se supone que los cables
tienen peso despreciable y no pueden alargarse.

Se supone además que, al no haber fricción entre una cierta polea y el respectivo cable,
entonces la tensión en el cable es constante para mantenerlo en equilibrio.


Bloque D:


0yF : N40T




Polea C: 0xF : 0cos60cos FT
60coscos TF (1)



0yF : 060sensen TTF
)160sen(sen TF (2)


(2) (1):
60cos

160sen
tan 75

N27,77F


Polea B:




i
xF 0 : 0cos60cos TT

60



i
yF 0 : EWT 60sen2

N28,69EW



y finalmente: gmW EE 06,7Em kg

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Cap. 3 Equilibrio Pág. 3-19

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La movilidad del cuerpo rígido en el plano está caracterizada por sus tres grados de
libertad. Dichos grados de libertad pueden ser interpretados de la siguiente manera:
traslación a lo largo de una dirección cualquiera, la cual a su vez puede ser interpretada
según sus dos componentes en la dirección de los ejes cartesianos rectangulares (dos
grados de libertad). A ello se suma la posibilidad de rotación alrededor de un eje
perpendicular al plano del movimiento (un grado de libertad).

Otra forma de definir los grados de libertad, y que es mayormente utilizada en los cursos
de mecánica en que se estudia el movimiento (dinámica, teoría de mecanismos,
vibraciones, etc.) es a través del número de coordenadas independientes que se requieren
para definir la posición del cuerpo rígido. En este caso, para el cuerpo rígido de la figura
3.44, si elegimos dos cualesquiera puntos A y B para definir un segmento, la posición del
cuerpo estará determinada si conocemos las dos coordenadas de la posición del punto A
(xA, yA) y el ángulo de orientación del segmento AB medida con respecto a una dirección
de referencia fija (el eje x en el caso de la figura).













3.2.1.4 Algunas notas sobre el equilibrio en el plano

Hemos visto que para el caso bidimensional, el equilibrio se puede expresar mediante las
siguientes tres ecuaciones escalares:


0xF ; 0yF ; 0PM (3.13)

Sin embargo, alternativamente podemos reemplazar algunas de ellas por otras, sin que ello
signifique que las nuevas ecuaciones nos permitan tener más incógnitas en el sistema. A
continuación mencionaremos algunas de ellas.



a) 0ûF ; 0PM ; 0QM (3.14)


donde û es una dirección cualquiera del plano y no debe ser paralela a la dirección
PQ. P y Q son dos puntos cualesquiera del plano.



b) 0PM ; 0QM ; 0SM (3.15)

donde P, Q y S no deben estar alineados.

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Cap. 3 Equilibrio Pág. 3-20

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3.2.1.5 Cuerpos sometidos a la acción de dos o tres fuerzas

• Si un cuerpo sometido a la acción de únicamente dos fuerzas está en equilibrio,

entonces ambas fuerzas deben tener la misma magnitud, misma recta de acción y
sentidos opuestos.


QPFM P

rr
||0 2→=∑

QPFM Q
rr

||0 1→=∑

→ 210 FFF

rrr
−=→=∑





• Si un cuerpo bajo la acción de tres fuerzas está en equilibrio, las líneas de acción de las

tres fuerzas deben concurrir en un punto. Si suponemos que ello no se cumple, al tomar
momentos con respecto al punto de intersección de las líneas de acción de dos
cualesquiera de ellas, digamos F1 y F2, entonces quedaría sin equilibrar el momento de
la fuerza restante, en este caso F3 y no se cumpliría la segunda ecuación de equilibrio
(∑ = 0PM ).










Nota: en este último caso, también será posible el equilibrio si es que las tres líneas de

acción son paralelas.

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Cap. 3 Equilibrio Pág. 3-38

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φsenADDH = → 49,57=DH → 49,57=Cz cm

φosADAH c= → 86,192=AH → 86,192=Cx cm

Además se debe notar que la reacción en C, al ser perpendicular al plano AJBE sigue la
misma dirección que OD, en consecuencia:

)cos,0,sen( φφ CCC NNN −=

r
)96,0;0;28,0( CC NN−=


Ahora tracemos el plano AJBE tangente
a la superficie semicilíndrica. La
generatriz de contacto DF contiene al
punto C. Para dicho plano (mostrado en
la figura en verdadera magnitud)
podemos escribir la siguiente relación:


:ABEΔ
300
120sen =θ → °= 58,23θ

θtanADCD = → 84,87=CD → 84,87=Cy cm

Las coordenadas del punto B serán:


φθφ cos)cos(cos ABAExB == → 49,263=Bx cm
120=By cm
φθφ sen)cos(sen ABAEzB == → 55,78=Bz cm

Las fuerzas que actúan sobre la varilla son:


Fuerza [N] Punto de paso [cm]

Peso propio: )50,0,0( −=W
r

)28,39;60;75,131(=Gr
r



Reacción en A: ),,( zyx AAAA =
r

)0,0,0(=Or
r



Reacción en B: )0,,0( BB NN −=
r

)55,78;120;49,263(=Br
r



Reacción en C: )96,0;0;28,0( CCC NNN −=
r

)49,57;84,87;86,192(=Cr
r




Ahora podemos aplicar las ecuaciones que describen el equilibrio de los cuerpos rígidos:


:0=∑ AM
r

0=×+×+× BBCCG NrNrWr
rrrrr

(1)


donde: )0;5,6587;3000(
5000
28,396075,131

ˆˆˆ

−=



kji

WrG
r



12
0

cm

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)59,24;24,201;33,84(
96,0028,0

49,5784,8786,192

ˆˆˆ

CCC

CC

CC NNN
NN

kji
Nr
�&�&



)49,263;0;55,78(
00
55,7812049,263

ˆˆˆ

BB

B

BB NN
N

kji
Nr
�&�&



en (1) y separando para cada dirección cartesiana:

055,7833,843000 BC NN
024,2015,6587 CN
049,26359,24 BC NN

Resolviendo: 01,3BN N )0,01,3,0(BN

�&


73,32CN N )42,31;0;16,9(CN
�&



Notar que el sistema de tres ecuaciones tiene solamente dos incógnitas. Lo que sucede es
que una de ellas es linealmente dependiente de las otras dos y en consecuencia el juego de
dos soluciones que hemos hallado es único.

Para calcular las reacciones en la articulación esférica:


:0iF
�&

0BC NNWA
�&�&�&�&

(2)

0)0,01,3,0()42,31;0;16,9()50,0,0(),,( zyx AAA

de donde: 16,9xA N
01,3yA N
16,9xA N


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