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GEOMETR�IA DIFERENCIAL: UN TRATADO DE
CURVAS Y SUPERFICIES

Por
Mal�on Mendoza

TRABAJO DE ASCENSO PRESENTADO PARA OPTAR A LA
CATEGOR�IA DE ASOCIADO EN EL ESCALAF�ON DEL PERSONAL

DOCENTE Y DE INVESTIGACI �ON

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL
\LISANDRO ALVARADO"

U.C.L.A

BARQUISIMETO, Julio, 2007.

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Mendoza Mal�on Rafael ii Julio 2007

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Caṕıtulo 3. Superficies en R3 3.7. El Plano Tangente; la diferencial de una aplicación.

Definición 3.7.10 Un Dominio de una superficie M es un subconjunto conexo y abierto
de M , tal que su frontera es la imagen de un ćırculo por un homeomorfismo diferenciable,
el cual es regular (i.e, su diferencial es no nulo) excepto por un número finito de puntos.
Una región de M es la unión de un dominio con su frontera. Una región de M ⊂ R3 es
acotada si está contenida en alguna bola de R3.

R

S

Figura 3.39: La Región R de M .

Consideremos una región acotada R la cual está contenida en una vecindad coordenada
ϕ(U) de una parametrización ϕ : U ⊂ R2 → M . En otras palabras, R es la imagen por
ϕ de una región acotada Q ⊂ U .

La función ‖ϕu ∧ϕv‖, definida en U , mide el área del paralelogramo generado por los
vectores ϕu y ϕv, es decir

‖ϕu ×ϕv‖ = ‖ϕu‖ ‖ϕv‖ sen θ, θ∢(ϕu,ϕv)

como se puede ver en la figura 3.40.



!
u


!
v
sen

Figura 3.40: Área del paralelogramo generado por los vectores ϕu y ϕv.

En primer lugar, la doble integral

∫ ∫

Q

‖ϕu ∧ϕv‖dudv

no depende de la parametrización ϕ . En realidad, si ϕ : U ⊂ R2 →M es otra parametri-
zación con R ⊂ ϕ(U) y Q = ϕ(R) y el jacobiano del cambio de parámetro h = ϕ−1 ◦ ϕ

Mendoza Malón Rafael 113 Julio 2007

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3.7. El Plano Tangente; la diferencial de una aplicación. Caṕıtulo 3. Superficies en R3

es @(u; v)[email protected](u; v), entonces,

∫ ∫

Q

‖’U ∧’v‖dudv =
∫ ∫

Q

‖’u ∧’v‖
∣∣∣∣
@(u; v)

@(u; v)

∣∣∣∣dudv

=

∫ ∫

Q

‖’u ∧’v‖dudv

donde la última igualdad viene del teorema de cambio de variables para integrales múlti-
ples. Aśı que:

Definición 3.7.11 Sea R ⊂M una región acotada de una superficie regular M contenida
en la vecindad coordenada de una parametrización ’ : U ⊂ R2 → M ′. El número positivo

A(R) =

∫ ∫

Q

‖’u ∧’v‖dudv ; Q = ’−1(R)

es llamada el área de R.

Es conveniente observar que ‖’u ∧’v‖2 + 〈’u;’v〉2 = ‖’u‖2‖’v‖2 . Ahora, ya que

‖’u ∧’v‖2 = ‖’u‖2‖’v‖2 sen2 �

y
〈’u;’v〉2 = ‖’2u‖’2v cos2 �;

resulta que
‖’u ∧’v‖ =


EG− F 2:

Ejemplo 3.7.6 Calculemos el área del toro.

Para eso, consideremos la vecindad coordenada correspondiente a la parametrización

’(u; v) = ((a+ r cosu) cos v; (a+ r cosu) sen v; r sen u)

0 < u < 2� ; 0 < v < 2�; la cual cubre al toro, excepto un meridiano y un paralelo.
Los coeficientes de la P:F:F:(Ip); son

E = r2; F = 0 y G = (r cos u+ a)

Ahora consideremos la región Rε obtenida como la imagen por ’ de la región Qε dada
por

Qε = {(uw) ∈ R2; 0 + " ≤ u ≤ 2� − "; 0 + " ≤ v ≤ 2� − "};
como lo muestra la figura 3.41 abajo.

Usando la definición de área obtenemos que

A(Rε) =

∫ ∫



r(r cosu+ a)dudv

=

∫ 2π−ε

0+ε

(r2 cosu+ ra)du

∫ 2π−ε

0+ε

dv

Mendoza Malón Rafael 114 Julio 2007

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7.6. Enlaces Interesantes. Cap��tulo 7. La Geometr��a Intr��nsica de Superficie

Mendoza Mal�on Rafael 236 Julio 2007

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Bibliograf́ıa

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