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TagsMathematics Set (Mathematics) Physics & Mathematics Polynomial Logarithm
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Table of Contents
                            Capitolo 1. Elementi di teoria degli insiemi
	1. Introduzione
	2. Operazioni tra insiemi
	3. Prodotto cartesiano
	4. Il complementare e le Regole di De Morgan
	5. I numeri naturali
	6. La cardinalità
	7. L'insieme delle parti
Capitolo 2. Le espressioni letterali
	1. Le formule
	2. Monomi
	3. I polinomi
	4. Alcuni prodotti notevoli
	5. Divisione tra polinomi
	6. Il procedimento elementare
Capitolo 3. Successioni finite
	1. Successioni aritmetiche
	2. Somma delle potenze di numeri naturali
	3. Somma delle potenze di successioni aritmetiche
	4. Successioni geometriche
	5. La curva di Koch o il fiocco di neve
Capitolo 4. Equazioni di primo o secondo grado
	1. Equazioni di primo grado
	2. Equazioni di secondo grado
	3. Equazioni con parametri
	4. Fattorizzazione di un polinomio
Capitolo 5. Esponenziale e logaritmi
	1. Potenze di 10
	2. Logaritmi in basi diverse
Capitolo 6. Funzioni
	1. Prime definizioni
	2. Grafico di una funzione
	3. Funzioni monotone
	4. Massimo e minimo
	5. Funzioni pari, dispari, modulo
	6. Qualche equazione con il modulo
	7. Parte positiva, negativa
	8. Funzione composta
	9. Funzione inversa
	10. Funzioni periodiche
Capitolo 7. Richiami sulle funzioni trigonometriche
	1. Seno e coseno
	2. Angoli e triangoli
	3. Formule goniometriche
	4. Grafici trigonometrici
	5. Trigonometria
	6. I numeri complessi
	7. Formule di prostaferesi
Capitolo 8. Disequazioni
	1. Regole generali
	2. Soluzioni di disequazioni
	3. Disequazioni irrazionali
	4. Equazioni e disequazioni goniometriche
	5. La verifica
	6. Esercizi proposti
Capitolo 9. Strumenti utili
	1. Software matematico
	2. Alfabeto greco
                        
Document Text Contents
Page 1

C
O

R
S
O

P
R

O
P

E
D

E
U

T
IC

O
D

I
M

A
T

E
M

A
T

IC
A

2
0
1
3
-2

0
1
4

Page 2

Dispensa a cura di :
Dino Boccaletti

Lamberto Lamberti
Luigi Stazi

con la collaborazione
di

Enrico Casadio Tarabusi

Ultima revisione: 22 maggio 2013.

Dipartimento di Matematica
Guido Castelnuovo

http://www.mat.uniroma1.it

Il testo di questa dispensa é stato scritto in LATEX 2ε.

I grafici sono stati realizzati con GeoGebra.

http://www.mat.uniroma1.it

Page 38

1. POTENZE DI 10 34

Osservazioni matematiche abbastanza fini conducono a riconoscere che
addirittura tutti i numeri positivi si possono esprimere esattamente
come opportune potenze di 10:

• i numeri 0 < x < 1 potenze di 10 con esponente negativo,
• il numero x = 1 potenza di 10 con esponente zero,
• i numeri 1 < x potenze di 10 con esponente positivo.

L’esponente da utilizzare per ciascun numero positivo x ha il nome di

logaritmo in base 10 di quel numero x

e si indica con log10(x) o, più brevemente con log(x), in altri termini

a = log10(x) ⇔ x = 10
a

Gli esempi precedenti corrispondono pertanto a

log10(1) = 0, log10(10) = 1, log10(100) = 2, . . . log10(4, 642) ' 2/3, . . .

Il calcolo del logaritmo di un numero non é un calcolo affidato ad
operazioni aritmetiche: per molti anni esso é stato eseguito con l’ausilio
di tavole numeriche preparate con grande cura da matematici celebri,
attualmente il calcolo é affidato alle calcolatrici elettroniche di cui tutti
dispongono.

É ragionevole attendersi che se

a ≤ x ≤ b → log10(a) ≤ log10(x) ≤ log10(b)

Cos̀ı, ad esempio

10 ≤ x ≤ 100 → log10(10) ≤ log10(x) ≤ log10(100) → 1 ≤ log10(x) ≤ 2

ovvero

10 ≤ x < 100 → log10(x) ∈ [1, 2] ↔ log10(x) = 1, ....

Analogamente

100 ≤ x < 1000 → log10(x) = 2, ....

ecc.

É quindi molto facile determinare la parte intera di log10(x), basta
riconoscere a quale intervallo [1, 10[, [10, 100[, [100, 1000[, . . . il numero
x appartenga.
Molto meno facile é invece riconoscere la parte decimale, detta mantis-
sa.

Page 39

35 Esponenziale e logaritmi

1.1. A cosa servono (servivano) i logaritmi ?
Il legame

numeri ↔ logaritmi
é servito (prima che le attuali macchine calcolatrici risolvessero i pro-
blemi per altra via) a calcolare

• prodotti,
• quozienti,
• radici,

almeno nel caso di numeri grandi tanto da scoraggiare l’esecuzione
aritmetica tradizionale.

Moltiplicazioni:

Assegnati due numeri positivi a e b si debba calcolare il prodotto
p = a · b:

a = 10log(a), b = 10log(b) → p = 10log(a)+log(b)

Il logaritmo di p é pertanto log(a) + log(b): considerata facile la som-
ma, log(p) = log(a) + log(b) la determinazione di p corrisponde alla
lettura delle tavole in senso inverso, dato log(p) trovare il numero p cui
corrisponde !

Divisione:

q =
a

b
→ log(q) = log(a)− log(b)

Radici:

Sia c = 3

a allora

log(c) =
1

3
log(a)

Dalla conoscenza di log(c) si ricava c !

Esempio 1.1. Supponiamo di voler calcolare a = 264:

log(a) = 64 · log(2) ' 64 · 0, 301 = 19, 266
Un logaritmo cos̀ı alto fa riconoscere che

a ∈ [1019, 1020]
informazione non banale sull’effettiva grandezza di 264.

Esempio 1.2. Il simbolo n! rappresenta il prodotto degli n numeri na-
turali da 1 a n: cos̀ı 4! = 4 × 3 × 2 × 1. La proprietà del logaritmo
rispetto alla moltiplicazione permette di riconoscere che

log(n!) = log(n) + log(n− 1) + · · ·+ log(2) + log(1)

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6. ESERCIZI PROPOSTI 72

6. Esercizi proposti

(1) Risolvere le disequazioni

x3 − 2x2 − x+ 2 > 0,
13x3 + x2 − 41x+ 27 < 0,
x3 + x− 30 > 0

cercando radici delle equazioni corrispondenti e quindi fatto-
rizzando.

(2)
x− 1
x2 + x

> 0

Si considerino gli intervalli in cui il numeratore e il denomi-
natore sono concordi: le soluzioni della disequazione proposta
sono l’unione delle soluzioni di ciascuno dei due sistemi{

x− 1 > 0
x2 + x > 0

oppure

{
x− 1 < 0
x2 + x < 0

(3)
2x+ 1

x− 2
≤ 3

Si porti il 3 a primo membro e si riduca a un’unica frazione.

(4)
2(x+ 1)

x2 − 8x+ 15


x+ 5

x2 − 6x+ 5


3(x+ 1)

x2 − 4x+ 3
Stesso suggerimento dell’esercizio precedente, conservando la
fattorizzazione del denominatore comune.

(5) 1 +
8

x− 1


1

x+ 2
≥ 0.

(6)




x− 2
x− 1

>
x− 3
x+ 3

4x2 − 1
3 + x

< 0

(7) Per quali valori di λ ∈ R la radice x̄ dell’ equazione 2x+1 = 3λ
è tale che −1 ≤ x̄ ≤ 3?

(8) Studiare la funzione y = ax2 + bx + c. Che relazioni ci sono
fra i coefficienti e le radici?

(9) Fissato λ, sotto quali condizioni per i coefficienti dell’ equa-
zione ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0 risulta

a)x1 < λ < x2?
b)x1 < x2 < λ?

(10) Per quale limitazione su k, l’ equazione

x2 + 5x− (2k − 1) = 0
ammette due radici: x1, x2, con x1 < 3 < x2?

(11) Per quale limitazione su k, l’ equazione x2+(2−3k)x−(k−
5

4
) =

0 ammette due radici: x1, x2, con x1 < x2 < 2?

Page 77

CAPITOLO 9

Strumenti utili

1. Software matematico

Un software molto adatto al primo ingresso nell’università é attual-
mente GeoGebra: si tratta di un prodotto

• gratuito, http://www.geogebra.org/cms/it
• utilizzabile su Windows, Mac OS-X, Linux,
• continuamente aggiornato

che soddisfa le esigenze dei primi corsi di Analisi, di Geometria, di
Algebra.
Le figure di questa Dispensa sono state realizzate con GeoGebra

Un altro prodotto, ancora gratuito, in grado di produrre ottimi grafici
in due o tre dimensioni é Gnuplot.
L’indirizzo Web é http://www.gnuplot.info/

Consulenze matematiche varie, dalla soluzione di equazioni a precisazioni
su formule e non solo, si possono rivolgere al sito della Wolfram
all’indirizzo http://www.wolframalpha.com/

2. Alfabeto greco

minusc. Maiusc. nome minusc. Maiusc. nome
α A alpha β B beta
γ Γ gamma δ ∆ delta
� ε E epsilon ζ Z zeta
η H eta θ ϑ Θ theta
ι I iota κ κ K kappa
λ Λ lambda µ M mi (mu)
ν N ni (nu) ξ Ξ xi
o O omicron π $ Π pi
ρ % P ro σ ς Σ sigma
τ T tau υ Υ ipsilon
φ ϕ Φ phi χ X chi
ψ Ψ psi ω Ω omega

73

http://www.geogebra.org/cms/it
http://www.gnuplot.info/
http://www.wolframalpha.com/

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