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Dispensa a cura di :
Dino Boccaletti
Lamberto Lamberti
Luigi Stazi
con la collaborazione
di
Enrico Casadio Tarabusi
Ultima revisione: 22 maggio 2013.
Dipartimento di Matematica
Guido Castelnuovo
http://www.mat.uniroma1.it
Il testo di questa dispensa é stato scritto in LATEX 2ε.
I grafici sono stati realizzati con GeoGebra.
http://www.mat.uniroma1.it
Page 38
1. POTENZE DI 10 34
Osservazioni matematiche abbastanza fini conducono a riconoscere che
addirittura tutti i numeri positivi si possono esprimere esattamente
come opportune potenze di 10:
• i numeri 0 < x < 1 potenze di 10 con esponente negativo,
• il numero x = 1 potenza di 10 con esponente zero,
• i numeri 1 < x potenze di 10 con esponente positivo.
L’esponente da utilizzare per ciascun numero positivo x ha il nome di
logaritmo in base 10 di quel numero x
e si indica con log10(x) o, più brevemente con log(x), in altri termini
a = log10(x) ⇔ x = 10
a
Gli esempi precedenti corrispondono pertanto a
log10(1) = 0, log10(10) = 1, log10(100) = 2, . . . log10(4, 642) ' 2/3, . . .
Il calcolo del logaritmo di un numero non é un calcolo affidato ad
operazioni aritmetiche: per molti anni esso é stato eseguito con l’ausilio
di tavole numeriche preparate con grande cura da matematici celebri,
attualmente il calcolo é affidato alle calcolatrici elettroniche di cui tutti
dispongono.
É ragionevole attendersi che se
a ≤ x ≤ b → log10(a) ≤ log10(x) ≤ log10(b)
Cos̀ı, ad esempio
10 ≤ x ≤ 100 → log10(10) ≤ log10(x) ≤ log10(100) → 1 ≤ log10(x) ≤ 2
ovvero
10 ≤ x < 100 → log10(x) ∈ [1, 2] ↔ log10(x) = 1, ....
Analogamente
100 ≤ x < 1000 → log10(x) = 2, ....
ecc.
É quindi molto facile determinare la parte intera di log10(x), basta
riconoscere a quale intervallo [1, 10[, [10, 100[, [100, 1000[, . . . il numero
x appartenga.
Molto meno facile é invece riconoscere la parte decimale, detta mantis-
sa.
Page 39
35 Esponenziale e logaritmi
1.1. A cosa servono (servivano) i logaritmi ?
Il legame
numeri ↔ logaritmi
é servito (prima che le attuali macchine calcolatrici risolvessero i pro-
blemi per altra via) a calcolare
• prodotti,
• quozienti,
• radici,
almeno nel caso di numeri grandi tanto da scoraggiare l’esecuzione
aritmetica tradizionale.
Moltiplicazioni:
Assegnati due numeri positivi a e b si debba calcolare il prodotto
p = a · b:
a = 10log(a), b = 10log(b) → p = 10log(a)+log(b)
Il logaritmo di p é pertanto log(a) + log(b): considerata facile la som-
ma, log(p) = log(a) + log(b) la determinazione di p corrisponde alla
lettura delle tavole in senso inverso, dato log(p) trovare il numero p cui
corrisponde !
Divisione:
q =
a
b
→ log(q) = log(a)− log(b)
Radici:
Sia c = 3
√
a allora
log(c) =
1
3
log(a)
Dalla conoscenza di log(c) si ricava c !
Esempio 1.1. Supponiamo di voler calcolare a = 264:
log(a) = 64 · log(2) ' 64 · 0, 301 = 19, 266
Un logaritmo cos̀ı alto fa riconoscere che
a ∈ [1019, 1020]
informazione non banale sull’effettiva grandezza di 264.
Esempio 1.2. Il simbolo n! rappresenta il prodotto degli n numeri na-
turali da 1 a n: cos̀ı 4! = 4 × 3 × 2 × 1. La proprietà del logaritmo
rispetto alla moltiplicazione permette di riconoscere che
log(n!) = log(n) + log(n− 1) + · · ·+ log(2) + log(1)
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6. ESERCIZI PROPOSTI 72
6. Esercizi proposti
(1) Risolvere le disequazioni
x3 − 2x2 − x+ 2 > 0,
13x3 + x2 − 41x+ 27 < 0,
x3 + x− 30 > 0
cercando radici delle equazioni corrispondenti e quindi fatto-
rizzando.
(2)
x− 1
x2 + x
> 0
Si considerino gli intervalli in cui il numeratore e il denomi-
natore sono concordi: le soluzioni della disequazione proposta
sono l’unione delle soluzioni di ciascuno dei due sistemi{
x− 1 > 0
x2 + x > 0
oppure
{
x− 1 < 0
x2 + x < 0
(3)
2x+ 1
x− 2
≤ 3
Si porti il 3 a primo membro e si riduca a un’unica frazione.
(4)
2(x+ 1)
x2 − 8x+ 15
−
x+ 5
x2 − 6x+ 5
≥
3(x+ 1)
x2 − 4x+ 3
Stesso suggerimento dell’esercizio precedente, conservando la
fattorizzazione del denominatore comune.
(5) 1 +
8
x− 1
−
1
x+ 2
≥ 0.
(6)
x− 2
x− 1
>
x− 3
x+ 3
4x2 − 1
3 + x
< 0
(7) Per quali valori di λ ∈ R la radice x̄ dell’ equazione 2x+1 = 3λ
è tale che −1 ≤ x̄ ≤ 3?
(8) Studiare la funzione y = ax2 + bx + c. Che relazioni ci sono
fra i coefficienti e le radici?
(9) Fissato λ, sotto quali condizioni per i coefficienti dell’ equa-
zione ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0 risulta
a)x1 < λ < x2?
b)x1 < x2 < λ?
(10) Per quale limitazione su k, l’ equazione
x2 + 5x− (2k − 1) = 0
ammette due radici: x1, x2, con x1 < 3 < x2?
(11) Per quale limitazione su k, l’ equazione x2+(2−3k)x−(k−
5
4
) =
0 ammette due radici: x1, x2, con x1 < x2 < 2?
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CAPITOLO 9
Strumenti utili
1. Software matematico
Un software molto adatto al primo ingresso nell’università é attual-
mente GeoGebra: si tratta di un prodotto
• gratuito, http://www.geogebra.org/cms/it
• utilizzabile su Windows, Mac OS-X, Linux,
• continuamente aggiornato
che soddisfa le esigenze dei primi corsi di Analisi, di Geometria, di
Algebra.
Le figure di questa Dispensa sono state realizzate con GeoGebra
Un altro prodotto, ancora gratuito, in grado di produrre ottimi grafici
in due o tre dimensioni é Gnuplot.
L’indirizzo Web é http://www.gnuplot.info/
Consulenze matematiche varie, dalla soluzione di equazioni a precisazioni
su formule e non solo, si possono rivolgere al sito della Wolfram
all’indirizzo http://www.wolframalpha.com/
2. Alfabeto greco
minusc. Maiusc. nome minusc. Maiusc. nome
α A alpha β B beta
γ Γ gamma δ ∆ delta
� ε E epsilon ζ Z zeta
η H eta θ ϑ Θ theta
ι I iota κ κ K kappa
λ Λ lambda µ M mi (mu)
ν N ni (nu) ξ Ξ xi
o O omicron π $ Π pi
ρ % P ro σ ς Σ sigma
τ T tau υ Υ ipsilon
φ ϕ Φ phi χ X chi
ψ Ψ psi ω Ω omega
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http://www.geogebra.org/cms/it
http://www.gnuplot.info/
http://www.wolframalpha.com/
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Dispensa a cura di :
Dino Boccaletti
Lamberto Lamberti
Luigi Stazi
con la collaborazione
di
Enrico Casadio Tarabusi
Ultima revisione: 22 maggio 2013.
Dipartimento di Matematica
Guido Castelnuovo
http://www.mat.uniroma1.it
Il testo di questa dispensa é stato scritto in LATEX 2ε.
I grafici sono stati realizzati con GeoGebra.
http://www.mat.uniroma1.it
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1. POTENZE DI 10 34
Osservazioni matematiche abbastanza fini conducono a riconoscere che
addirittura tutti i numeri positivi si possono esprimere esattamente
come opportune potenze di 10:
• i numeri 0 < x < 1 potenze di 10 con esponente negativo,
• il numero x = 1 potenza di 10 con esponente zero,
• i numeri 1 < x potenze di 10 con esponente positivo.
L’esponente da utilizzare per ciascun numero positivo x ha il nome di
logaritmo in base 10 di quel numero x
e si indica con log10(x) o, più brevemente con log(x), in altri termini
a = log10(x) ⇔ x = 10
a
Gli esempi precedenti corrispondono pertanto a
log10(1) = 0, log10(10) = 1, log10(100) = 2, . . . log10(4, 642) ' 2/3, . . .
Il calcolo del logaritmo di un numero non é un calcolo affidato ad
operazioni aritmetiche: per molti anni esso é stato eseguito con l’ausilio
di tavole numeriche preparate con grande cura da matematici celebri,
attualmente il calcolo é affidato alle calcolatrici elettroniche di cui tutti
dispongono.
É ragionevole attendersi che se
a ≤ x ≤ b → log10(a) ≤ log10(x) ≤ log10(b)
Cos̀ı, ad esempio
10 ≤ x ≤ 100 → log10(10) ≤ log10(x) ≤ log10(100) → 1 ≤ log10(x) ≤ 2
ovvero
10 ≤ x < 100 → log10(x) ∈ [1, 2] ↔ log10(x) = 1, ....
Analogamente
100 ≤ x < 1000 → log10(x) = 2, ....
ecc.
É quindi molto facile determinare la parte intera di log10(x), basta
riconoscere a quale intervallo [1, 10[, [10, 100[, [100, 1000[, . . . il numero
x appartenga.
Molto meno facile é invece riconoscere la parte decimale, detta mantis-
sa.
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35 Esponenziale e logaritmi
1.1. A cosa servono (servivano) i logaritmi ?
Il legame
numeri ↔ logaritmi
é servito (prima che le attuali macchine calcolatrici risolvessero i pro-
blemi per altra via) a calcolare
• prodotti,
• quozienti,
• radici,
almeno nel caso di numeri grandi tanto da scoraggiare l’esecuzione
aritmetica tradizionale.
Moltiplicazioni:
Assegnati due numeri positivi a e b si debba calcolare il prodotto
p = a · b:
a = 10log(a), b = 10log(b) → p = 10log(a)+log(b)
Il logaritmo di p é pertanto log(a) + log(b): considerata facile la som-
ma, log(p) = log(a) + log(b) la determinazione di p corrisponde alla
lettura delle tavole in senso inverso, dato log(p) trovare il numero p cui
corrisponde !
Divisione:
q =
a
b
→ log(q) = log(a)− log(b)
Radici:
Sia c = 3
√
a allora
log(c) =
1
3
log(a)
Dalla conoscenza di log(c) si ricava c !
Esempio 1.1. Supponiamo di voler calcolare a = 264:
log(a) = 64 · log(2) ' 64 · 0, 301 = 19, 266
Un logaritmo cos̀ı alto fa riconoscere che
a ∈ [1019, 1020]
informazione non banale sull’effettiva grandezza di 264.
Esempio 1.2. Il simbolo n! rappresenta il prodotto degli n numeri na-
turali da 1 a n: cos̀ı 4! = 4 × 3 × 2 × 1. La proprietà del logaritmo
rispetto alla moltiplicazione permette di riconoscere che
log(n!) = log(n) + log(n− 1) + · · ·+ log(2) + log(1)
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6. ESERCIZI PROPOSTI 72
6. Esercizi proposti
(1) Risolvere le disequazioni
x3 − 2x2 − x+ 2 > 0,
13x3 + x2 − 41x+ 27 < 0,
x3 + x− 30 > 0
cercando radici delle equazioni corrispondenti e quindi fatto-
rizzando.
(2)
x− 1
x2 + x
> 0
Si considerino gli intervalli in cui il numeratore e il denomi-
natore sono concordi: le soluzioni della disequazione proposta
sono l’unione delle soluzioni di ciascuno dei due sistemi{
x− 1 > 0
x2 + x > 0
oppure
{
x− 1 < 0
x2 + x < 0
(3)
2x+ 1
x− 2
≤ 3
Si porti il 3 a primo membro e si riduca a un’unica frazione.
(4)
2(x+ 1)
x2 − 8x+ 15
−
x+ 5
x2 − 6x+ 5
≥
3(x+ 1)
x2 − 4x+ 3
Stesso suggerimento dell’esercizio precedente, conservando la
fattorizzazione del denominatore comune.
(5) 1 +
8
x− 1
−
1
x+ 2
≥ 0.
(6)
x− 2
x− 1
>
x− 3
x+ 3
4x2 − 1
3 + x
< 0
(7) Per quali valori di λ ∈ R la radice x̄ dell’ equazione 2x+1 = 3λ
è tale che −1 ≤ x̄ ≤ 3?
(8) Studiare la funzione y = ax2 + bx + c. Che relazioni ci sono
fra i coefficienti e le radici?
(9) Fissato λ, sotto quali condizioni per i coefficienti dell’ equa-
zione ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0 risulta
a)x1 < λ < x2?
b)x1 < x2 < λ?
(10) Per quale limitazione su k, l’ equazione
x2 + 5x− (2k − 1) = 0
ammette due radici: x1, x2, con x1 < 3 < x2?
(11) Per quale limitazione su k, l’ equazione x2+(2−3k)x−(k−
5
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) =
0 ammette due radici: x1, x2, con x1 < x2 < 2?
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CAPITOLO 9
Strumenti utili
1. Software matematico
Un software molto adatto al primo ingresso nell’università é attual-
mente GeoGebra: si tratta di un prodotto
• gratuito, http://www.geogebra.org/cms/it
• utilizzabile su Windows, Mac OS-X, Linux,
• continuamente aggiornato
che soddisfa le esigenze dei primi corsi di Analisi, di Geometria, di
Algebra.
Le figure di questa Dispensa sono state realizzate con GeoGebra
Un altro prodotto, ancora gratuito, in grado di produrre ottimi grafici
in due o tre dimensioni é Gnuplot.
L’indirizzo Web é http://www.gnuplot.info/
Consulenze matematiche varie, dalla soluzione di equazioni a precisazioni
su formule e non solo, si possono rivolgere al sito della Wolfram
all’indirizzo http://www.wolframalpha.com/
2. Alfabeto greco
minusc. Maiusc. nome minusc. Maiusc. nome
α A alpha β B beta
γ Γ gamma δ ∆ delta
� ε E epsilon ζ Z zeta
η H eta θ ϑ Θ theta
ι I iota κ κ K kappa
λ Λ lambda µ M mi (mu)
ν N ni (nu) ξ Ξ xi
o O omicron π $ Π pi
ρ % P ro σ ς Σ sigma
τ T tau υ Υ ipsilon
φ ϕ Φ phi χ X chi
ψ Ψ psi ω Ω omega
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http://www.gnuplot.info/
http://www.wolframalpha.com/
