Download Linearna Algebra PDF

TitleLinearna Algebra
File Size199.4 KB
Total Pages26
Document Text Contents
Page 2

2 1. UVOD

��
UVOD

1.1. Grupe i polja

Pojam vektorskog prostora predstavlja prirodno proširenje raznih prostora koji se
s obzirom na zbrajanje i množenje sa skalarom ponašaju na potpuno isti način. Takvi
su npr. Rn �prostor vektora stupaca s n komponenata�, V 3 �prostor klasičnih vektora
dobiven preko usmjerenih dužina�, Mmn �vektorski prostor matrica tipa m� n �. Cilj
je unijeti gemetriju i općenito zor u vektorske prostore koji su naoko bez geometrije
�npr. u prostore funkcija�. Opća definicija vektorskog prostora zasniva se na pojmu
grupe i polja, koji su takoder predmet samostalnog proučavanja u matematici.

Grupa je neprazan skup G zajedno s binarnom operacijom � , kojom dvama
elementima x i y iz G pridružujemo element x � y u G , tako da vrijedi

a� x�yz� � �xy�z za sve x� y� z � G �asocijativnost�;
b� postoji element e � G tako da za sve x � G vrijedi xe � ex � x ; e zovemo

neutralnim elementom;
c� za svaki x � G postoji element x�1 takav da je xx�1 � x�1x � e .

Kraće govorimo o grupi kao o poredanom dvojcu �G� �� s gornjim svojstvima.
Ako vrijedi još i

d� xy � yx za sve x� y � G ,
za grupu kažemo da je komutativna ili abelova �u čast norveškom matematičaru Nielsu
Abelu iz 19. st.�.

Ako je binarna operacija zapisana aditivno, tj. sa � umjesto � , onda smatramo
da je grupa automatski komutativna. Inverzni element u aditivnoj grupi zovemo sup-
rotnim elementom i označavamo s �x , a neutralni element zovemo nul-elementom i
označavmo s 0 .

Polje je skup F zajedno s dvije binarne operacije � �zbrajanje� i � množenje,
koje bilo kojim dvama elementima λ �µ � F pridružuje λ � µ � F i λ � µ � F , tako
da vrijedi:

a� �F��� je aditivna grupa, tj.
a1� λ � �µ � ν� � �λ � µ� � ν za sve λ �µ� ν � F �asocijativnost�;

Page 26

26 2. RJESAVANJE SUSTAVA JEDNACABA ITERATIVNIM METODAMA

Ako je A gornja trokutasta matrica, onda je P�A� gornja trokutasta, kao i eA . Na
dijagonali su isti brojevi kao u dijagonalnom slučaju.

Pogledajmo za ilustraciju gornju trokutastu matricu

A �


λ 1
0 λ




i nadimo eAt � I �At� �At�
2

2! �
�At�3

3! � � � � , gdje je t bilo koji realni broj. Indukcijom
se lako vidi da je

Ak �


λ k kλ k�1
0 λ k




dakle

eAt �


P�
k�1

�λ t�k
k!

P�
k�1

kλ k�1tk
k!

0
P�

k�1
�λ t�k

k! �




Zbog
P�

k�1
kλ k�1tk

k! � t
P�

k�1
λ k�1tk�1
�k�1�! � �j :� k�1� � t

P�
j�0

λ jtj
j! � te

λ t dobivamo

eAt �


eλ t teλ t

0 eλ t




Similer Documents