Document Text Contents
Page 2
2 1. UVOD
��
UVOD
1.1. Grupe i polja
Pojam vektorskog prostora predstavlja prirodno proširenje raznih prostora koji se
s obzirom na zbrajanje i množenje sa skalarom ponašaju na potpuno isti način. Takvi
su npr. Rn �prostor vektora stupaca s n komponenata�, V 3 �prostor klasičnih vektora
dobiven preko usmjerenih dužina�, Mmn �vektorski prostor matrica tipa m� n �. Cilj
je unijeti gemetriju i općenito zor u vektorske prostore koji su naoko bez geometrije
�npr. u prostore funkcija�. Opća definicija vektorskog prostora zasniva se na pojmu
grupe i polja, koji su takoder predmet samostalnog proučavanja u matematici.
Grupa je neprazan skup G zajedno s binarnom operacijom � , kojom dvama
elementima x i y iz G pridružujemo element x � y u G , tako da vrijedi
a� x�yz� � �xy�z za sve x� y� z � G �asocijativnost�;
b� postoji element e � G tako da za sve x � G vrijedi xe � ex � x ; e zovemo
neutralnim elementom;
c� za svaki x � G postoji element x�1 takav da je xx�1 � x�1x � e .
Kraće govorimo o grupi kao o poredanom dvojcu �G� �� s gornjim svojstvima.
Ako vrijedi još i
d� xy � yx za sve x� y � G ,
za grupu kažemo da je komutativna ili abelova �u čast norveškom matematičaru Nielsu
Abelu iz 19. st.�.
Ako je binarna operacija zapisana aditivno, tj. sa � umjesto � , onda smatramo
da je grupa automatski komutativna. Inverzni element u aditivnoj grupi zovemo sup-
rotnim elementom i označavamo s �x , a neutralni element zovemo nul-elementom i
označavmo s 0 .
Polje je skup F zajedno s dvije binarne operacije � �zbrajanje� i � množenje,
koje bilo kojim dvama elementima λ �µ � F pridružuje λ � µ � F i λ � µ � F , tako
da vrijedi:
a� �F��� je aditivna grupa, tj.
a1� λ � �µ � ν� � �λ � µ� � ν za sve λ �µ� ν � F �asocijativnost�;
Page 26
26 2. RJESAVANJE SUSTAVA JEDNACABA ITERATIVNIM METODAMA
Ako je A gornja trokutasta matrica, onda je P�A� gornja trokutasta, kao i eA . Na
dijagonali su isti brojevi kao u dijagonalnom slučaju.
Pogledajmo za ilustraciju gornju trokutastu matricu
A �
�
λ 1
0 λ
�
�
i nadimo eAt � I �At� �At�
2
2! �
�At�3
3! � � � � , gdje je t bilo koji realni broj. Indukcijom
se lako vidi da je
Ak �
�
λ k kλ k�1
0 λ k
�
�
dakle
eAt �
P�
k�1
�λ t�k
k!
P�
k�1
kλ k�1tk
k!
0
P�
k�1
�λ t�k
k! �
�
�
Zbog
P�
k�1
kλ k�1tk
k! � t
P�
k�1
λ k�1tk�1
�k�1�! � �j :� k�1� � t
P�
j�0
λ jtj
j! � te
λ t dobivamo
eAt �
�
eλ t teλ t
0 eλ t
�
�
2 1. UVOD
��
UVOD
1.1. Grupe i polja
Pojam vektorskog prostora predstavlja prirodno proširenje raznih prostora koji se
s obzirom na zbrajanje i množenje sa skalarom ponašaju na potpuno isti način. Takvi
su npr. Rn �prostor vektora stupaca s n komponenata�, V 3 �prostor klasičnih vektora
dobiven preko usmjerenih dužina�, Mmn �vektorski prostor matrica tipa m� n �. Cilj
je unijeti gemetriju i općenito zor u vektorske prostore koji su naoko bez geometrije
�npr. u prostore funkcija�. Opća definicija vektorskog prostora zasniva se na pojmu
grupe i polja, koji su takoder predmet samostalnog proučavanja u matematici.
Grupa je neprazan skup G zajedno s binarnom operacijom � , kojom dvama
elementima x i y iz G pridružujemo element x � y u G , tako da vrijedi
a� x�yz� � �xy�z za sve x� y� z � G �asocijativnost�;
b� postoji element e � G tako da za sve x � G vrijedi xe � ex � x ; e zovemo
neutralnim elementom;
c� za svaki x � G postoji element x�1 takav da je xx�1 � x�1x � e .
Kraće govorimo o grupi kao o poredanom dvojcu �G� �� s gornjim svojstvima.
Ako vrijedi još i
d� xy � yx za sve x� y � G ,
za grupu kažemo da je komutativna ili abelova �u čast norveškom matematičaru Nielsu
Abelu iz 19. st.�.
Ako je binarna operacija zapisana aditivno, tj. sa � umjesto � , onda smatramo
da je grupa automatski komutativna. Inverzni element u aditivnoj grupi zovemo sup-
rotnim elementom i označavamo s �x , a neutralni element zovemo nul-elementom i
označavmo s 0 .
Polje je skup F zajedno s dvije binarne operacije � �zbrajanje� i � množenje,
koje bilo kojim dvama elementima λ �µ � F pridružuje λ � µ � F i λ � µ � F , tako
da vrijedi:
a� �F��� je aditivna grupa, tj.
a1� λ � �µ � ν� � �λ � µ� � ν za sve λ �µ� ν � F �asocijativnost�;
Page 26
26 2. RJESAVANJE SUSTAVA JEDNACABA ITERATIVNIM METODAMA
Ako je A gornja trokutasta matrica, onda je P�A� gornja trokutasta, kao i eA . Na
dijagonali su isti brojevi kao u dijagonalnom slučaju.
Pogledajmo za ilustraciju gornju trokutastu matricu
A �
�
λ 1
0 λ
�
�
i nadimo eAt � I �At� �At�
2
2! �
�At�3
3! � � � � , gdje je t bilo koji realni broj. Indukcijom
se lako vidi da je
Ak �
�
λ k kλ k�1
0 λ k
�
�
dakle
eAt �
P�
k�1
�λ t�k
k!
P�
k�1
kλ k�1tk
k!
0
P�
k�1
�λ t�k
k! �
�
�
Zbog
P�
k�1
kλ k�1tk
k! � t
P�
k�1
λ k�1tk�1
�k�1�! � �j :� k�1� � t
P�
j�0
λ jtj
j! � te
λ t dobivamo
eAt �
�
eλ t teλ t
0 eλ t
�
�
