Document Text Contents
Page 1
Momcilo N ovkovic
I1ija Kovacevic
ZBIRKA RESENIH ZADATAKA
IZ
VEROVATNOCE I STATISTlKE
STYLOS
Page 2
I t10-v; ~
-'VJU
ZIP&?
#I~t'
r;..'1.
Cd" ,)
UNIVERZITET U NOVOM SADU
FAKULTET TEHNICKIH NAUKA
Momcilo B. Novkovic I1ija M. Kovacevic
ZBIRKA RESENIH ZADATAKA
IZ
,
VEROVATNOCE I STATISTIKE
Nuvi Sad, 1999
Page 84
Ocene parametara 79
1
--max{x I' x 2 , .•. , x n } => n-1
1~ n . { }=>a=--mm x j ,x 2 "",x n --max{x 1 ,X2 , ••. ,x }n-1 n 1
n
= _n- max{x 1 ,x1,···,x n }n-1
An { } 1 '{ I=> b=--max x p x 2 ,,,,,x n mm X 1 ,X 2 , ... ,xn J n-1 n 1
Dakle, statistike kojima se ocenjuju parametri a i b na osnovu uzorka su:
b=_n-max{Xl,X2"",Xn} _1-min{X1,XZ""'X n }.
n-1 n 1
Metoda maksimalne verodostojnosti:
0 , x ~ (a, b)
<rx(x) = _1_
{ , x E (a, b)
b-a
Lca,b)=(_l_)n , InL(a,b) -nln(b-a).
b-a
alnL(a,b) =_n_>O ___ a '{X X X}
-r min I' 2"'" n •
aa b-a
aIn L( a, b) n { }
----< 0 => b max Xj,XZ,...,Xn • ab b a
Dakle, statistike kojima se ocenjuju parametri a i b na osnovu uzorka su:
A A
a min{X1,XZ,...,XJ i b max{X 1,X2 , ...,Xn }.
2 -~.rx
5. Obeieije X ima raspodelu datu funkcijom gustine <rx (x) = eze e ,x> 0 ,
{ o ,x:::; 0
gde je e> O. Na osnovu uzorka obima n oceniti parametar e metodom
maksimalne verodostojnosti. Ispitati cenft-iranost, postojanost i efikasnost
tako dobijene ocene.
Page 85
80 Ocene parametara
2
L(e)= ·e
2 n r::
InL(e)= nln2 2nIne Z:vx; ,
ei=l
n 1\ 1 n81nL(e) = _ 2n +.2. rx; 0 ~ na+ z:jX;, a=-z:jX;.ae e e2 VAi i=l n i=1
Daklc, statistika kojom se ocenjuje parametar a na osnovu uzorka je
1\ 1 n rv
a=-Z:Vxi'
n i=l
Cen triranost:
1. [~rx=t
dx = 2a
x 4
1\
Ocena a je centrirana.
Postojanost:
(~2) 2-~E..;X =E(X)=f00 x ·-2 e e dx() a
1\ (1 n )
D(a) = Dl-z:,fX;
n ;=1
=! [3~2 9'] ~:
Koriscenjem nejednakosti Cebiseva dobijamo:
~ ~~p(1 a- a I~ EJ 0 ~ Ocena aje postojana.
Page 167
162 Prilog4
Raspodela A Kolmogorov-Smirnova
'A Q('A) 'A Q('A) A. Q('A) A. Q(A.) A. Q('A) A. Q(},)
0,32 0,0000
0,33 0,0001
0,34 0,0002
0,35 0,0003
0,36 0,0005
0,37 0,0008
0~18 0,0013
0,39 0,0019
0,40 0,0028
0,41 0,0040
0,42 0,0055
0,43 0,0074
0,44 0,0097
0,45 0,0126
0,46 0,0160
0,47 0,0200
0,48 0,0247
0,49 0,0300
0,50 0,0361
0,51 0,0428
0,52 0,0503
0,53 0,0585
0,54 0,0675
0,55 0,0772
0,56 0,0876
0,57 0,0987
0,58 0,1104
0,59 0,1228
0,60 0,1357
0,61 0,1492
0,62 0,1632
0,63 0,1778
0,64 0,1927
065 02080
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
0,2236
0,2396
0,2558
0,2722
0,2888
0,3055
0,3223
0,3391
0,3560
0,3728
0,3896
0,4064
0,4230
0,4395
0,4559
0,4720
0,4880
0,5038
0,5194
0,5347
0,5497
0,5645
0,5791
0,5933
0,6073
0,6209
0,6343
0,6473
0,6601
0,6725
0,6846
0,6964
0,7079
07191
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,to
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
0,7300
0,7406
0,7508
0,7608
0,7704
0,7798
0,7889
0,7976
0,8061
0,8143
0,8223
0,8399
0,8374
0,8445
0,8514
0,8580
0,8644
0,8706
0,8765
0,8823
0,8877
0,8930
0,8981
0,9030
0,9076
0,9121
0,9164
0,9206
0,9245
0,9283
0,9319
0,9354
0,9387
09418
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
167
0,9449
0,9478
0,9505
0,9531
0,9556
0,9580
0,9603
0,9625
0,9646
0,9665
0,9684
0,9702
0,9718
0,9734
0,9750
0,9764
0,9778
0,9791
0,9803
0,9815
0,9826
0,9836
0,9846
0,9855
0,9864
0,9873
0,9880
0,9888
0,9895
0,9902
0,9908
0,9914
0,9919
09924
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1 0 •,tM
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
0,9929
0,9934
0,9938
0,9942
0,9946
0,9950
0,9953
0,9956
0,9959
0,9962
0,9965
0,9967
0,9969
0,9971
0,9973
0,9975
0,9977
0,9979
0,9980
0,9981
0,9983
0,9984
0,9985
0,9986
0,9987
0,9988
0,9989
0,9990
0,9991
0,9991
0,9992
0,9993
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
2,31
0,9993
0,9994
0,9994
0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
Page 168
i
(iz sadriaja)
Knjiga se sastoji iz dva dela.
U prvom delu su sistematski i detaljno uradeni zadaci, sa potrebnom
teorijskom osnovom koji se rade na vezbama iz predmeta Matem~cke metode IV
gradevinske struke FfN-a (uvodni pojmovi; elementi teorije verovatnoce;
Bajesova formula i formula totalne verovatnoce; jedno4imenzionalne
visedimenzionalne slucajne promenljive i njihove transforDlacije; matematicko
ocekivanje i disperzija; zakoni velikih brojeva i centralne granicne teoreme;
osnovni pojmovi matematicke statistikej tackaste i intervalne ocene nepoznatih
parametaraj parametarski i neparametarski testovi znacajnosti).
U drugom delu knjige sistematski i detaljno su uradeni zadaci sa pismenih
ispita (od aprilskog 1997. do oktobarskog roka 1998. godine).
(iz recenzije)
CitajuCi tekst predlozenog rukopisa vidi se da je veoma dobra strana u
njemu to sto se na pocetku daju formule neophodne za razumevanje i izradu
l>lldataka i sto su zadaci detaljno uradeni (u svim delovima teksta). Veoma dobro
je i to sto se posebna paznja poklanja pitanjima koja se odnose na one raspodele
koje su ceste u primenama. Specijalno, detaljno su obradena mnoga pitanja
vezana za Gausovu raspodelu verovatnoea.
Tekst rukopisa napisan je jasnim jezikom i prilagodenim stilom, a sve to
uradeno je i matematicki precizno i razumljivo. Zadaci su znalacki odabrani, tako
da se kroz njih zaista moze savladati nastavna materija.
Analiza predlozenog rukopisa pokazuje da sadriaj kakav nalazimo u ovom
rukopisu je neophodno stivo za studente tehnickih fakulteta, a posebno za
studente Fakulteta tehnickih nauka u Novom Sadu. Sem toga, i studenti drugih
fakulteta mod ce da u njemu nadu dosta korisnih sadriaja.
Iz navedenih razloga sa zadovoljstvom predlazemo da se rukopis ZBIRKA
RESENIH ZADATAKA IZ VEROVATNOCE I STATISTIKE prihvati kao
udzbenik za nastavni sadrzaj predmeta Matematicke metode IV.
(0 autorima)
Momcilo Novkovic je asistent matematike na Fakultetu tehnickih nauka u
Novom Sadu. Diplomirao je 1992. godine na Fakultetu tehnickih nauka u Novom
Sadu (Masinski odsek). Magistrirao je 1997. godine na Matematickom fakultetu u
Beogradu. Drii vezhe iz predmeta Matematicka analiza I, Matematicke metode
IV i Matematika trio Podrucje njegovog naucnog rada je Verovatnoca i statistika
slueajni procest
Ilija Kovacevic je redovni profesor matematike na Fakultetu tehnickih nauka
u Novom Sadu. Doktorirao je 1979. godine na Prirodno-matematickom fakultetu
u Beogradu. Predaje Matematicku analizu I, Funkcibnalnu analizu i Matematicke
metode IV. Podrucje njegovog naucnog rada je Topologija - kompaktnost.
Momcilo N ovkovic
I1ija Kovacevic
ZBIRKA RESENIH ZADATAKA
IZ
VEROVATNOCE I STATISTlKE
STYLOS
Page 2
I t10-v; ~
-'VJU
ZIP&?
#I~t'
r;..'1.
Cd" ,)
UNIVERZITET U NOVOM SADU
FAKULTET TEHNICKIH NAUKA
Momcilo B. Novkovic I1ija M. Kovacevic
ZBIRKA RESENIH ZADATAKA
IZ
,
VEROVATNOCE I STATISTIKE
Nuvi Sad, 1999
Page 84
Ocene parametara 79
1
--max{x I' x 2 , .•. , x n } => n-1
1~ n . { }=>a=--mm x j ,x 2 "",x n --max{x 1 ,X2 , ••. ,x }n-1 n 1
n
= _n- max{x 1 ,x1,···,x n }n-1
An { } 1 '{ I=> b=--max x p x 2 ,,,,,x n mm X 1 ,X 2 , ... ,xn J n-1 n 1
Dakle, statistike kojima se ocenjuju parametri a i b na osnovu uzorka su:
b=_n-max{Xl,X2"",Xn} _1-min{X1,XZ""'X n }.
n-1 n 1
Metoda maksimalne verodostojnosti:
0 , x ~ (a, b)
<rx(x) = _1_
{ , x E (a, b)
b-a
Lca,b)=(_l_)n , InL(a,b) -nln(b-a).
b-a
alnL(a,b) =_n_>O ___ a '{X X X}
-r min I' 2"'" n •
aa b-a
aIn L( a, b) n { }
----< 0 => b max Xj,XZ,...,Xn • ab b a
Dakle, statistike kojima se ocenjuju parametri a i b na osnovu uzorka su:
A A
a min{X1,XZ,...,XJ i b max{X 1,X2 , ...,Xn }.
2 -~.rx
5. Obeieije X ima raspodelu datu funkcijom gustine <rx (x) = eze e ,x> 0 ,
{ o ,x:::; 0
gde je e> O. Na osnovu uzorka obima n oceniti parametar e metodom
maksimalne verodostojnosti. Ispitati cenft-iranost, postojanost i efikasnost
tako dobijene ocene.
Page 85
80 Ocene parametara
2
L(e)= ·e
2 n r::
InL(e)= nln2 2nIne Z:vx; ,
ei=l
n 1\ 1 n81nL(e) = _ 2n +.2. rx; 0 ~ na+ z:jX;, a=-z:jX;.ae e e2 VAi i=l n i=1
Daklc, statistika kojom se ocenjuje parametar a na osnovu uzorka je
1\ 1 n rv
a=-Z:Vxi'
n i=l
Cen triranost:
1. [~rx=t
dx = 2a
x 4
1\
Ocena a je centrirana.
Postojanost:
(~2) 2-~E..;X =E(X)=f00 x ·-2 e e dx() a
1\ (1 n )
D(a) = Dl-z:,fX;
n ;=1
=! [3~2 9'] ~:
Koriscenjem nejednakosti Cebiseva dobijamo:
~ ~~p(1 a- a I~ EJ 0 ~ Ocena aje postojana.
Page 167
162 Prilog4
Raspodela A Kolmogorov-Smirnova
'A Q('A) 'A Q('A) A. Q('A) A. Q(A.) A. Q('A) A. Q(},)
0,32 0,0000
0,33 0,0001
0,34 0,0002
0,35 0,0003
0,36 0,0005
0,37 0,0008
0~18 0,0013
0,39 0,0019
0,40 0,0028
0,41 0,0040
0,42 0,0055
0,43 0,0074
0,44 0,0097
0,45 0,0126
0,46 0,0160
0,47 0,0200
0,48 0,0247
0,49 0,0300
0,50 0,0361
0,51 0,0428
0,52 0,0503
0,53 0,0585
0,54 0,0675
0,55 0,0772
0,56 0,0876
0,57 0,0987
0,58 0,1104
0,59 0,1228
0,60 0,1357
0,61 0,1492
0,62 0,1632
0,63 0,1778
0,64 0,1927
065 02080
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
0,2236
0,2396
0,2558
0,2722
0,2888
0,3055
0,3223
0,3391
0,3560
0,3728
0,3896
0,4064
0,4230
0,4395
0,4559
0,4720
0,4880
0,5038
0,5194
0,5347
0,5497
0,5645
0,5791
0,5933
0,6073
0,6209
0,6343
0,6473
0,6601
0,6725
0,6846
0,6964
0,7079
07191
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,to
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
0,7300
0,7406
0,7508
0,7608
0,7704
0,7798
0,7889
0,7976
0,8061
0,8143
0,8223
0,8399
0,8374
0,8445
0,8514
0,8580
0,8644
0,8706
0,8765
0,8823
0,8877
0,8930
0,8981
0,9030
0,9076
0,9121
0,9164
0,9206
0,9245
0,9283
0,9319
0,9354
0,9387
09418
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
167
0,9449
0,9478
0,9505
0,9531
0,9556
0,9580
0,9603
0,9625
0,9646
0,9665
0,9684
0,9702
0,9718
0,9734
0,9750
0,9764
0,9778
0,9791
0,9803
0,9815
0,9826
0,9836
0,9846
0,9855
0,9864
0,9873
0,9880
0,9888
0,9895
0,9902
0,9908
0,9914
0,9919
09924
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1 0 •,tM
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
0,9929
0,9934
0,9938
0,9942
0,9946
0,9950
0,9953
0,9956
0,9959
0,9962
0,9965
0,9967
0,9969
0,9971
0,9973
0,9975
0,9977
0,9979
0,9980
0,9981
0,9983
0,9984
0,9985
0,9986
0,9987
0,9988
0,9989
0,9990
0,9991
0,9991
0,9992
0,9993
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
2,31
0,9993
0,9994
0,9994
0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
Page 168
i
(iz sadriaja)
Knjiga se sastoji iz dva dela.
U prvom delu su sistematski i detaljno uradeni zadaci, sa potrebnom
teorijskom osnovom koji se rade na vezbama iz predmeta Matem~cke metode IV
gradevinske struke FfN-a (uvodni pojmovi; elementi teorije verovatnoce;
Bajesova formula i formula totalne verovatnoce; jedno4imenzionalne
visedimenzionalne slucajne promenljive i njihove transforDlacije; matematicko
ocekivanje i disperzija; zakoni velikih brojeva i centralne granicne teoreme;
osnovni pojmovi matematicke statistikej tackaste i intervalne ocene nepoznatih
parametaraj parametarski i neparametarski testovi znacajnosti).
U drugom delu knjige sistematski i detaljno su uradeni zadaci sa pismenih
ispita (od aprilskog 1997. do oktobarskog roka 1998. godine).
(iz recenzije)
CitajuCi tekst predlozenog rukopisa vidi se da je veoma dobra strana u
njemu to sto se na pocetku daju formule neophodne za razumevanje i izradu
l>lldataka i sto su zadaci detaljno uradeni (u svim delovima teksta). Veoma dobro
je i to sto se posebna paznja poklanja pitanjima koja se odnose na one raspodele
koje su ceste u primenama. Specijalno, detaljno su obradena mnoga pitanja
vezana za Gausovu raspodelu verovatnoea.
Tekst rukopisa napisan je jasnim jezikom i prilagodenim stilom, a sve to
uradeno je i matematicki precizno i razumljivo. Zadaci su znalacki odabrani, tako
da se kroz njih zaista moze savladati nastavna materija.
Analiza predlozenog rukopisa pokazuje da sadriaj kakav nalazimo u ovom
rukopisu je neophodno stivo za studente tehnickih fakulteta, a posebno za
studente Fakulteta tehnickih nauka u Novom Sadu. Sem toga, i studenti drugih
fakulteta mod ce da u njemu nadu dosta korisnih sadriaja.
Iz navedenih razloga sa zadovoljstvom predlazemo da se rukopis ZBIRKA
RESENIH ZADATAKA IZ VEROVATNOCE I STATISTIKE prihvati kao
udzbenik za nastavni sadrzaj predmeta Matematicke metode IV.
(0 autorima)
Momcilo Novkovic je asistent matematike na Fakultetu tehnickih nauka u
Novom Sadu. Diplomirao je 1992. godine na Fakultetu tehnickih nauka u Novom
Sadu (Masinski odsek). Magistrirao je 1997. godine na Matematickom fakultetu u
Beogradu. Drii vezhe iz predmeta Matematicka analiza I, Matematicke metode
IV i Matematika trio Podrucje njegovog naucnog rada je Verovatnoca i statistika
slueajni procest
Ilija Kovacevic je redovni profesor matematike na Fakultetu tehnickih nauka
u Novom Sadu. Doktorirao je 1979. godine na Prirodno-matematickom fakultetu
u Beogradu. Predaje Matematicku analizu I, Funkcibnalnu analizu i Matematicke
metode IV. Podrucje njegovog naucnog rada je Topologija - kompaktnost.
