Download Ravenka Na Ramnina, Determinanti PDF

TitleRavenka Na Ramnina, Determinanti
File Size1.1 MB
Total Pages33
Document Text Contents
Page 1

д-р Никола Тунески















МАТЕМАТИКА 1

- предавања и задачи за вежбање -





(работна верзија)

Page 2

СОДРЖИНА




Предговор


1. Детерминанти од втор и трет ред
1.1. Детерминанти од втор ред
1.2. Детерминанти од трет ред
Задачи за вежбање


2. Вектори

2.1. Собирање и одземање на вектори
2.2. Множење на вектор со скалар
2.3. Линеарна комбинација на вектори
2.4. Вектори во координатна форма
2.5. Скаларен производ
2.6. Векторски производ
2.7. Мешан производ
Задачи за вежбање


3. Аналитичка геометрија

3.1. Поделба на отсечка во даден однос
3.2. Рамнина

3.2.1. Равенка на рамнина
3.2.2. Взаемна положба на две рамнини.
3.2.3. Взаемна положба на три рамнини.

3.3. Права
3.4. Взаемна положба на права и рамнина
3.5. Растојанија
Задачи за вежбање


4. Одбрани делови од реални броеви

4.1. Математичка индукција
4.2. Биномна формула
4.3. Равенки и неравенки со апсолутна вредност
Задачи за вежбање


5. Низи од реални броеви

5.1. Дефиниција. Ограниченост и монотоност на низа
5.2. Точка на натрупување и конвергенција на низа
Задачи за вежбање


6. Реални функции

6.1. Дефиниција и основни поими
6.2. Начини на задавање на реална функција

6.2.1. Табеларно и со помош на график
6.2.2. Аналитично задавање на функција (со формула)

6.3. Инверзна функција
6.4. Операции со функции и сложена функција
6.5. Ограниченост, монотоност и екстреми на реална функција
6.6. Елементарни функции
6.7. График на функција добиена од елементарна функција
Задачи за вежбање

Page 16

2-6


Пример 2.6.1: Векторскиот производ на векторите 3,1,2a

r
и 0,1,3b

r
е

1,9,393
013
312 kji
kji

ba
rrr

rrr

rr
.


Својства на векторскиот производ:

– abba
rrrr


– bababa

rrrrrr


– cabacba
rrrrrrr

и cbcacba
rrrrrrr


– bababa

rrrrrr


– 0
rrr

aa
– ba

rr
е еднаков на плоштината на паралелограмот образуван од векторите a

r
и b

r


(види слика 6) бидејќи
Phabababa a

rrrrrr
,sin

b
r

ah

a
r


слика 2.6.1


Пример 2.6.2: Да се определи плоштината на паралелограмот образуван со векторите

3,1,2a
r

и 0,1,3b
r

.
Решение: Векторскиот производ на векторите 3,1,2a

r
и 0,1,3b

r
е

1,9,393
013
312 kji
kji

ba
rrr

rrr

rr
,

а плоштината на паралелограмот образуван со нив е
91193 222baP

rr
.




2.7. Мешан производ


Нека a
r

, b
r

и c
r

се три ненулти вектори. Тогаш нивниот мешан производ cba
rrr

е скалар
(реален број) дефиниран на следниот начин:

cbacba
rrrrrr

.

Ако векторите a

r
, b

r
и c

r
се дадени во координатна форма, т.е., zyx aaaa ,,

r
,

zyx bbbb ,,
r

и zyx cccc ,,
r

тогаш нивниот мешан производ се пресметува со
формулата

zyx

zyx

zyx

ccc
bbb
aaa

cba
rrr

Page 17

2-7

Пример 2.7.1: Мешаниот производ на векторите 4,2,3a
r

, 5,1,2b
r

и 2,2,4c
r


изнесува

36
224
512
423

,, cba
rrr

.


Својства на мешаниот производ:


– acbcabcba
rrrrrrrrr




– Апсолутната вредност на мешани-
от производ cba

rrr
е еднаква на

волуменот на паралелопипедот кој
е образуван од трите вектори a

r
, b
r


и c
r

. (слика 2.7.1)



ba

cba

B
V

H rr

rrr

е должината на

висината на паралелопипедот кој е
образуван од трите вектори a

r
, b
r

и
c
r

каде за основа е земена страната
образувана од векторите a

r
и b

r
. слика 2.7.1


Пример 2.7.2: Да се определи волуменот на паралелопипедот кој е образуван од
векторите 4,2,3a

r
, 5,1,2b

r
и 2,2,4c

r
и неговата висина ако за

основа се зема паралелограмот образуван од векторите a
r

и b
r

.

Решение: Мешаниот производ на векторите 4,2,3a

r
, 5,1,2b

r
и

2,2,4c
r

е

36
224
512
423

,, cba
rrr

,

а волуменот на паралелопипедот образуван со нив е
3636V .

Векторскиот производ ba
rr

е

1,7,676
512
423 kji

kji
ba

rrr

rrr

rr


и затоа
86176 222baB

rr
.

Бараната висина е

43
8618

86
36

B
V

H .

Page 32

3-13

Пример 3.5.6: Растојаниете меѓу разминувачките прави

4
1

3
2

1
1

:
+

=
+

=

− zyx

p и
2
3

6
1

2
2

:



=


=

− zyx

q

е

( )
( )

897.1
1010

60
,

45


+
=

×
=

qp

qp

nn

MMnn
qpd rr

rr

,

бидејќи ( )4,3,1−=pn
r

, ( )2,6,2 −−=qn
r

, ( )0,10,30 −−=× qp nn
rr

, 1010=× qp nn
rr

,

( )1,2,14 −−M , ( )3,1,25M , ( )4,3,145 −−−=MM , ( ) 6045 =MMnn qp rr .




Задачи за вежбање


3.1. Да се определи равеката на рамнината:

a. низ точката ( )0,1,2M која на координатните оски отсекува сегменти кои
се во однос 2:3:1 ;

b. низ точките ( )0,1,2A , ( )0,2,1B и ( )2,3,1C .

3.2. Најди ја равенката на рамнината што минува низ точката ( )0,1,2M и е

нормална на правата дадена со равенките
1

1
1

3
2

2 −
=


=

− zyx .

3.3. Да се најде равенката на рамнината што минува низ точките ( )0,1,2A и

( )2,3,1B , а е паралелна со правата
1

1
2

2
1

2 −
=

+
=

− zyx .



– Да се најде равенката на рамнината Π што минува низ правата





=+++
=+++
0434

06523
:

zyx
zyx

p

3.4. и минува низ точката ( )0,1,2 −A ;

3.5. и е паралелна со правата
3
1

23
:




==
zyx

q ;

3.6. и е нормална на рамнината 08323:1 =−−+Σ zyx ;

3.7. и е паралелна со рамнината 08:1 =−+−Σ zyx .



3.8. Да се испита дали се сечат правите
3

3
1
1

2
2

:


=



=

+ zyx

p и
11

2
2

:
zyx

q =



= .

Во потврден случај да се најде нивната пресечна точка и рамнината во која
лежат.

3.9. Дадени се правите:
3

7
8

4
1

:


=


=
zyx

p и
2
2

1
1

:



==

+ zyx

q
λ

. Да се одреди λ

така да дадените прави се сечат и за така најденото λ да се најде пресечната
точка на правите.

Page 33

3-14

3.10. Да се најдат равенките на правата што минува низ прободот на рамнината

03832: zyx со правата
3

3
1
1

2
2

:
zyx

p и е нормална на

дадената рамнина.



– Дадена е правата
4

2
4

13
:

zy
a

x
q . Да се определи a така што

3.11. правата p да минува низ точката 6,9,7A ;

3.12. правата p да биде паралелна со рамнината 0542 zyx .



3.13. Да се определи пресечната точка и аголот помеѓу правата
1

3
2

1
2

2 zyx


и рамнината 0122 zyx .

3.14. Да се определи растојанието од точката 4,5,3A до правата

22
1

1
2

:
zyx

p .

3.15. Да се определи растојанието од правата
22

1
1
2

:
zyx

p до правата

4
1

4
1

2
1

:
zyx

q .

Similer Documents