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Segunda Parte
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Sección 4
Pro blemas
En esta sección aparecen enunciados de problemas; la sección 5 con-
tiene sugerencias para su solución y la sección 6 contiene las soluciones.
Los últimos 5 problemas (del 31 al 35) requieren de un manejo profundo
del tema y de cierta madurez matemática.
[4.1] Probar que si a, b, e y n son enteros cualesquiera con n > 3,
entonces hay un entero k tal que ninguno de los enteros k + a, k + b,
k + e es divisible por n.
[4.2] Sea n la suma de todas las cifras del número 55555555;sea m
la suma de todas las cifras de n y sea r la suma de todas las cifras de
m. Encontrar r.
[4.3] ¿Entre qué números del 1 al 12 es divisible 1O60~-10?
[4.4] Los enteros de dos dígitos desde el 19 hasta el 93 se escriben
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multiplicamos dos números congruentes con 1, obtenemos otro número
también congruente con 1. Consideremos el número A = 4P2 . . .Pk + 3.
Por la observación anterior y el Teorema Fundamental de la Aritmética,
este número debe tener un factor primo q congruente con 3 módulo 4. Si
q = 3, entonces 3 es un divisor de 4P2. . .Pk = A - 3, lo cual es absurdo.
Si q = Pi para alguna i ~ 2, entonces q es divisor de 3 = A - 4P2 . . .Pk ,
lo cual también es imposible. Entonces q es un número distinto de
los dados, así que esto contradice la suposición que hicimos de que los
únicos primos de la forma 4n + 3 fueran: P1= 3,P2 = 7, . . . ,Pk .
[6.9] Como 2001 = 3 x 667, tenemos que
11 . . . 1 = 11 . . . 1 (1 00 . . . O1 00 . . . O 1).~~~~
2001 667 666 666
Así 11... 1 is un divisor of 11 . . . 1
~ ~
667 2001
[6.10] Si P = 2, entonces p2+77 = 81 que tiene 5 divisores (1,3,9,27
y 81). Si P = 3 entonces p2 + 77 = 86 que tiene sólo 4 divisores. Para
los demás primos, p2 + 77 es múltiplo de 6 pues es par y es congruente
con Omódulo 3. Esto implica que p2 + 77 = 6k que tiene como divisores
al menos a 1,2,3,6, k, 2k, 3k Y 6k, los cuales son todos distintos pues
k > 12. Luego la única solución es P = 2.
[6.11] Tenemos que 1994 I n y que 1994 = 2 x 997 (997 es primo);
por lo tanto n = 2a x 997b X qfl . . . q~r, con a ~ 1, b ~ 1 Y q1," . , qr
primos distintos entre sí y distintos de 2 y de 997. Por 13.86] si M es
el producto de todos los divisores de n entonces M = n2 , donde D =
(a+1)(b+1)(c1 +1)... (cr+1) es el número de divisores de n. Entonces
queremos ~ = 1994, por lo que D = 2 x 2 x 997. Comparando las
dos descomposiciones de D concluimos que a lo más aparece un primo
aparte de 2 y 997 en n. Además queremos que n sea lo menor posible
por lo que el otro primo (en caso de aparecer) es q1 = 3. Las posibles
combinaciones de a, b Y c se dan tomando las distintas factorizaciones
de D en dos o tres factores: 2 x 2 x 997, 4 x 997 y 2 x 1994. Si
descomponemos D en tres factores D = 2 x 2 x 997, de todas las
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combinaciones de a, b y c que dan (a+ l)(b+ 1)(C1 + 1) = 2 x 2 x 997,
la que produce el menor n es cuando a = 996, b = 1 Y C1 = 1, es
decir,cuando n = 2996x 3 x 997. Sidescomponemos D como producto
de dos factores,entonces C1 = O (es decir,no aparece un tercer primo)
y las posibles combinaciones que producen el menor n en cada caso
son n = 2996 x 9973 y n = 21993 x 997. De las tres posibilidades que
hemos descritopara n, es fácildarse cuenta que la menor es la primera:
n = 2996 x 3 x 997, así que ésta es la respuesta.
[6.12] Módulo 7 tenemos que, 03 O, 13 - 1, 23 1, 33 -1,
43 1, 53 -1 Y 63 -1. De aquí que lascombinacionesde todos
los valores no cero de X3, y3 Y Z3 nos dan los correspondientes valores
de X3 + y3 - Z3 según la tabla siguiente:
En ningún caso nos da O, por tanto alguno de ellos (x, y o z) debe ser
O módulo 7 para que X3 + y3 - Z3 lo sea.
[6.13] Veremos primero que para n = 1,2,3,...,6, el número
nn - n! no es divisibleentre alguno de los números del 1 al 10. Si
n = 2 entonces nn - n! = 2 que no es divisible,por ejemplo, entre
3. Para comprobar en los demás casos no necesitamos hacer todas las
cuentas sino simplemente recordar que si x, y y z son números enteros
relacionados por una ecuación x + y = z y otro entero k es factor de
dos de ellos, entonces también lo es del tercero. Así, 33 - 3! no puede
ser divisible entre 2 pues 2 es divisor de 3! y, si fuera divisor de 33 - 3! ,
entonces también lo sería de 33, lo cual no es cierto. De la misma man-
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X3 y3 Z3 X3 + y3 - Z3
1 1 1 1
1 1 -1 3
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1
-1 1 -1 1
-1 -1 1 -3
-1 -1 -1 -1
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ÍNDICE ALFABÉTICO
absoluto (valor), 24
base, 17
binaria (expansión), 19
clase, 66
cociente (Algoritmo de la División), 40
combinación lineal, 26
compuesto (número), 30
congruente, 66
Criba de Eratóstenes, 33
Criterio de Eisenstein, 100
decimal (expansión), 17
descomposición canónica, 32
diofantina (ecuación), 58
divisible, 24
divisor, 24
divisor propio, 30
entero (número), 23
equivalente (ecuación), 59
exponente, 8
factor, 24
Fibona¡cci (sucesión), 89
Fórmula de Gauss, 2
función cP de Euler, 90
inverso (en Zn), 77
inverso (módulo n), 77
irreducible (fracción), 85
irreducible (polinomio), 100
máximo común divisor, 41
mínimo común múltiplo, 51
módulo, 66
múltiplo, 24
múltiplo propio, 30
124
natural (número), 23
orden (módulo n), 92
parte entera, 6
Pequeño Teorema de Fermat, 91
primo, 30
primos entre sí, 43
primos relativos, 43
Principio de Sustitución,
producto (en Zn), 72,
progresión aritmética, 22
racional, 52
raíz (de polinomio), 15
real (número), 1
reflexiva, 25, 68
representante (de clase), 66
residuo (Algoritmo de la División), 40
simétrica, 25, 68
sistema posicional, 17
soluble (congruencia), 79
sucesión, 7
suma (en Zn), 72
Teorema Chino del Residuo, 83
Teorema de Euler, 91
Teorema del Binomio, 10
Teorema de Wilson, 86
Teorema Fundamental de la Aritmética, 3
Teoría de Números, 23
terna pitagórica, 55
ternaria (expansión), 19
transitiva, 25, 68
unidad, 30
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Pro blemas
En esta sección aparecen enunciados de problemas; la sección 5 con-
tiene sugerencias para su solución y la sección 6 contiene las soluciones.
Los últimos 5 problemas (del 31 al 35) requieren de un manejo profundo
del tema y de cierta madurez matemática.
[4.1] Probar que si a, b, e y n son enteros cualesquiera con n > 3,
entonces hay un entero k tal que ninguno de los enteros k + a, k + b,
k + e es divisible por n.
[4.2] Sea n la suma de todas las cifras del número 55555555;sea m
la suma de todas las cifras de n y sea r la suma de todas las cifras de
m. Encontrar r.
[4.3] ¿Entre qué números del 1 al 12 es divisible 1O60~-10?
[4.4] Los enteros de dos dígitos desde el 19 hasta el 93 se escriben
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multiplicamos dos números congruentes con 1, obtenemos otro número
también congruente con 1. Consideremos el número A = 4P2 . . .Pk + 3.
Por la observación anterior y el Teorema Fundamental de la Aritmética,
este número debe tener un factor primo q congruente con 3 módulo 4. Si
q = 3, entonces 3 es un divisor de 4P2. . .Pk = A - 3, lo cual es absurdo.
Si q = Pi para alguna i ~ 2, entonces q es divisor de 3 = A - 4P2 . . .Pk ,
lo cual también es imposible. Entonces q es un número distinto de
los dados, así que esto contradice la suposición que hicimos de que los
únicos primos de la forma 4n + 3 fueran: P1= 3,P2 = 7, . . . ,Pk .
[6.9] Como 2001 = 3 x 667, tenemos que
11 . . . 1 = 11 . . . 1 (1 00 . . . O1 00 . . . O 1).~~~~
2001 667 666 666
Así 11... 1 is un divisor of 11 . . . 1
~ ~
667 2001
[6.10] Si P = 2, entonces p2+77 = 81 que tiene 5 divisores (1,3,9,27
y 81). Si P = 3 entonces p2 + 77 = 86 que tiene sólo 4 divisores. Para
los demás primos, p2 + 77 es múltiplo de 6 pues es par y es congruente
con Omódulo 3. Esto implica que p2 + 77 = 6k que tiene como divisores
al menos a 1,2,3,6, k, 2k, 3k Y 6k, los cuales son todos distintos pues
k > 12. Luego la única solución es P = 2.
[6.11] Tenemos que 1994 I n y que 1994 = 2 x 997 (997 es primo);
por lo tanto n = 2a x 997b X qfl . . . q~r, con a ~ 1, b ~ 1 Y q1," . , qr
primos distintos entre sí y distintos de 2 y de 997. Por 13.86] si M es
el producto de todos los divisores de n entonces M = n2 , donde D =
(a+1)(b+1)(c1 +1)... (cr+1) es el número de divisores de n. Entonces
queremos ~ = 1994, por lo que D = 2 x 2 x 997. Comparando las
dos descomposiciones de D concluimos que a lo más aparece un primo
aparte de 2 y 997 en n. Además queremos que n sea lo menor posible
por lo que el otro primo (en caso de aparecer) es q1 = 3. Las posibles
combinaciones de a, b Y c se dan tomando las distintas factorizaciones
de D en dos o tres factores: 2 x 2 x 997, 4 x 997 y 2 x 1994. Si
descomponemos D en tres factores D = 2 x 2 x 997, de todas las
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combinaciones de a, b y c que dan (a+ l)(b+ 1)(C1 + 1) = 2 x 2 x 997,
la que produce el menor n es cuando a = 996, b = 1 Y C1 = 1, es
decir,cuando n = 2996x 3 x 997. Sidescomponemos D como producto
de dos factores,entonces C1 = O (es decir,no aparece un tercer primo)
y las posibles combinaciones que producen el menor n en cada caso
son n = 2996 x 9973 y n = 21993 x 997. De las tres posibilidades que
hemos descritopara n, es fácildarse cuenta que la menor es la primera:
n = 2996 x 3 x 997, así que ésta es la respuesta.
[6.12] Módulo 7 tenemos que, 03 O, 13 - 1, 23 1, 33 -1,
43 1, 53 -1 Y 63 -1. De aquí que lascombinacionesde todos
los valores no cero de X3, y3 Y Z3 nos dan los correspondientes valores
de X3 + y3 - Z3 según la tabla siguiente:
En ningún caso nos da O, por tanto alguno de ellos (x, y o z) debe ser
O módulo 7 para que X3 + y3 - Z3 lo sea.
[6.13] Veremos primero que para n = 1,2,3,...,6, el número
nn - n! no es divisibleentre alguno de los números del 1 al 10. Si
n = 2 entonces nn - n! = 2 que no es divisible,por ejemplo, entre
3. Para comprobar en los demás casos no necesitamos hacer todas las
cuentas sino simplemente recordar que si x, y y z son números enteros
relacionados por una ecuación x + y = z y otro entero k es factor de
dos de ellos, entonces también lo es del tercero. Así, 33 - 3! no puede
ser divisible entre 2 pues 2 es divisor de 3! y, si fuera divisor de 33 - 3! ,
entonces también lo sería de 33, lo cual no es cierto. De la misma man-
110
X3 y3 Z3 X3 + y3 - Z3
1 1 1 1
1 1 -1 3
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1
-1 1 -1 1
-1 -1 1 -3
-1 -1 -1 -1
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ÍNDICE ALFABÉTICO
absoluto (valor), 24
base, 17
binaria (expansión), 19
clase, 66
cociente (Algoritmo de la División), 40
combinación lineal, 26
compuesto (número), 30
congruente, 66
Criba de Eratóstenes, 33
Criterio de Eisenstein, 100
decimal (expansión), 17
descomposición canónica, 32
diofantina (ecuación), 58
divisible, 24
divisor, 24
divisor propio, 30
entero (número), 23
equivalente (ecuación), 59
exponente, 8
factor, 24
Fibona¡cci (sucesión), 89
Fórmula de Gauss, 2
función cP de Euler, 90
inverso (en Zn), 77
inverso (módulo n), 77
irreducible (fracción), 85
irreducible (polinomio), 100
máximo común divisor, 41
mínimo común múltiplo, 51
módulo, 66
múltiplo, 24
múltiplo propio, 30
124
natural (número), 23
orden (módulo n), 92
parte entera, 6
Pequeño Teorema de Fermat, 91
primo, 30
primos entre sí, 43
primos relativos, 43
Principio de Sustitución,
producto (en Zn), 72,
progresión aritmética, 22
racional, 52
raíz (de polinomio), 15
real (número), 1
reflexiva, 25, 68
representante (de clase), 66
residuo (Algoritmo de la División), 40
simétrica, 25, 68
sistema posicional, 17
soluble (congruencia), 79
sucesión, 7
suma (en Zn), 72
Teorema Chino del Residuo, 83
Teorema de Euler, 91
Teorema del Binomio, 10
Teorema de Wilson, 86
Teorema Fundamental de la Aritmética, 3
Teoría de Números, 23
terna pitagórica, 55
ternaria (expansión), 19
transitiva, 25, 68
unidad, 30
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